Упругие силы и деформации

Определение 1

Сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть его в начальное состояние, называется силой упругости.

Все тела материального мира подвержены деформациям различного рода. Деформации возникают в силу перемещения и, как следствие, изменения положения частиц тела друг относительно друга. По степени обратимости можно выделить:

• упругие, или обратимые деформации;
• пластические (остаточные), или необратимые деформации.

В случаях, когда тело по завершении воздействия сил, приводящих к деформации, восстанавливает свои первоначальные параметры, деформация называется упругой.

Стоит отметить, что при упругой деформации воздействие внешней силы на тело не превышает предела упругости. Таким образом, силы упругости компенсируют внешнее воздействие на тело.

В ином случае деформация является пластической или остаточной. Тело, подвергшееся воздействия такого характера не восстанавливает начальные размеры и форму.

Упругие силы, возникающие в телах, не способны полностью уравновесить силы, вызывающие пластическую деформацию.

В целом, различают ряд простых деформаций:

• растяжение (сжатие);
• изгиб;
• сдвиг;
• кручение.

Как правило, деформации нередко представляют собой совокупность нескольких представленных типов воздействия, что позволяет свести все деформации к двум наиболее распространенным типам, а именно к растяжению и сдвигу.

Характеристики сил упругости

Модуль силы упругости, действующий на единицу площади, есть физическая величина, названная напряжением (механическим).

Механическое напряжение, в зависимости от направления приложения силы, может быть:

• нормальным (направленным по нормали к поверхности, $σ$);
• тангенциальным (направленным по касательной к поверхности, $τ$).

Замечание 1

Степень деформации характеризуется количественной мерой – относительной деформацией.

Так, например, относительное изменение длины стержня можно описать формулой:

$ε=\frac{\Delta l}{l}$,

а относительное продольное растяжение (сжатие):

$ε’=\frac{\Delta d}{d}$, где:

$l$ – длина, а $d$ – диаметр стержня.

Деформации $ε$ и $ε’$ протекают одновременно и имеют противоположные знаки, в силу того, что при растяжении изменение длины тела положительно, а изменение диаметра отрицательно; в случаях с сжатием тела знаки меняются на противоположные. Их взаимосвязь описывается формулой:

Здесь $μ$ – коэффициент Пуассона, зависящий от свойств материала.

Закон Гука

По своей природе, упругие силы относятся к электромагнитным, не фундаментальным силам, и, следовательно, они описываются приближенными формулами.

Так, эмпирически установлено, что для малых деформаций относительное удлинение и напряжение пропорциональны, или

Здесь $E$ – коэффициент пропорциональности, называемый также модулем Юнга. Он принимает такое значение, при котором относительное удлинение равно единице. Модуль Юнга измеряется в ньютонах на квадратный метр (паскалях).

Согласно закону Гука удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе, или:

$F=\frac{ES}{l}\Delta l=k\Delta l$

Значение $k$ получило название коэффициента упругости.

Деформация твердых тел описывается законом Гука лишь до достижения предела пропорциональности. С повышением напряжения деформация перестает быть линейной, но, вплоть до достижения предела упругости, остаточные деформации не возникают. Таким образом, Закон Гука справедлив исключительно для упругих деформаций.

Пластические деформации

При дальнейшем возрастании воздействующих сил, возникают остаточные деформации.

Определение 2

Значение механического напряжения, при котором происходит возникновение заметной остаточной деформации, названо пределом текучести ($σт$).

Далее степень деформации возрастает без увеличения напряжения вплоть до достижения предела прочности ($σр$), когда происходит разрушение тела. Если графически изобразить возвращение тела в первоначальное состояние, то область между точками $σт$ и $σр$ получит название области текучести (области пластической деформации). В зависимости от размера этой области все материалы делятся на вязкие, у которых область текучести значительна, и хрупкие, у которых область текучести минимальна.

Отметим, что прежде мы рассматривали воздействие сил, приложенных по направлению нормали к поверхности. Если же внешние силы были приложены по касательной, возникает деформация сдвига. При этом в каждой точке тела возникает тангенциальное напряжение, определяемое модулем силы на единицу площади, или:

$τ=\frac{F}{S}$.

Относительный сдвиг в свою очередь может быть вычислен по формуле:

$γ=\frac{1}{G}τ$, где $G$ – модуль сдвига.

Модуль сдвига принимает такое значение тангенциального напряжения, при котором величина сдвига равна единице; измеряется $G$ так же, как и напряжение, в паскалях.

«Физика - 10 класс»

При решении задач по этой теме надо иметь в виду, что закон Гука справедлив только при упругих деформациях тел. Сила упругости не зависит от того, какая происходит деформация: сжатия или растяжения, она одинакова при одинаковых Δl. Кроме этого, считается, что сила упругости вдоль всей пружины одинакова, так как масса пружины обычно не учитывается.

Задача 1.

При помощи пружинного динамометра поднимают с ускорением а = 2,5 м/с 2 , направленным вверх, груз массой m = 2 кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если её жёсткость k = 1000 Н/м.

Р е ш е н и е.

Согласно закону Гука, выражающему связь между модулем внешней силы , вызывающей растяжение пружины, и её удлинением, имеем F = kΔl. Отсюда

Для нахождения силы воспользуемся вторым законом Ньютона. На груз, кроме силы тяжести m, действует сила упругости пружины, равная по модулю F и направленная вертикально вверх. Согласно второму закону Ньютона m = F + m.

Направим ось OY вертикально вверх так, чтобы пружина была расположена вдоль этой оси (рис. 3.16). В проекции на ось OY второй закон Ньютона можно записать в виде mа у = F y + mg y

Так как а у = a, g y = -g и F y = F, то F = mа + mg = m(а + g).

Следовательно,

Задача 2.

Определите, как изменяется сила натяжения пружины, прикреплённой к бруску массой m = 5 кг, находящемуся неподвижно на наклонной поверхности, при изменении угла наклона от 30° до 60°. Трение не учитывайте.

Р е ш е н и е.

На брусок действуют сила тяжести, сила натяжения пружины и сила реакции опоры (рис. 3.17).

Условие равновесия бруска: m + + yпp = 0.

Запишем это условие в проекциях на оси ОХ и OY:

Из первого уравнения системы получим F yпp = mg sinα.

При изменении угла наклона изменение силы упругости найдём из выражения ΔF yпp = mg(sinα 2 - sinα 1) = 5 10 (0,866 - 0,5) (Н) = 18,3 Н.

Задача 3.

К потолку подвешены последовательно две невесомые пружины жёсткостями 60 Н/м и 40 Н/м. К нижнему концу второй пружины прикреплён груз массой 0,1 кг. Определите жёсткость воображаемой пружины удлинение которой было бы таким же, как и двух пружин при подвешивании к ней такого же груза (эффективную жёсткость).

Р е ш е н и е.

Так как весом пружин можно пренебречь, то очевидно, что силы натяжения пружин равны (рис. 3.18). Тогда согласно закону Гука

F ynp1 = F упр2 ; k 1 x 1 = k 2 х 2 . (1)

На подвешенный груз действуют две силы - сила тяжести и сила натяжения второй пружины.

Условие равновесия груза запишем в виде mg = k 2 х 2 .

Из этого уравнения найдём удлинение

Подставив выражение для х 2 в уравнение (1), получим для удлинения

Определим теперь эффективную жёсткость. Запишем закон Гука для воображаемой пружины:

Подставив в формулу (2) выражения для удлинений x 1 и х 2 пружин, получим

Для эффективной жёсткости получим выражение

Задача 4.

Через блок, закреплённый у края стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой привязаны брусок массой m 1 = 1 кг, находящийся на горизонтальной поверхности стола, и пружина жёсткостью k = 50 Н/м, расположенная вертикально Ко второму концу пружины привязана гиря массой m 2 = 200 г (рис. 3.19). Определите удлинение пружины при движении тел. Силу трения, массы пружины, блока и нити не учитывайте.

Р е ш е н и е.

На брусок действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила натяжения нити.

Подвесьте пружину (рис. 1, а) и потяните ее вниз. Растянутая пружина будет действовать на руку с некоторой силой (рис. 1, б). Это сила упругости.

Рис. 1. Опыт с пружиной: а — пружина не растянута; б — растянутая пружина действует на руку с силой, направленной вверх

Из-за чего возникает сила упругости? Легко заметить, что сила упругости действует со стороны пружины только тогда, когда она растянута или сжата, то есть ее форма изменена. Изменение формы тела называют деформацией.

Сила упругости возникает вследствие деформации тела.

В деформированном теле расстояния между частицами немного изменяются: если тело растянуто, то расстояния увеличиваются, а если сжато, то уменьшаются. В результате взаимодействия частиц и возникает сила упругости. Она направлена всегда так, чтобы уменьшить деформацию тела.

Всегда ли деформацию тела можно заметить? Деформацию пружины легко заметить. А деформируется ли, например, стол под лежащей на нем книгой? Казалось бы, должен: ведь иначе со стороны стола не возникла бы сила, которая не дает книге провалиться сквозь стол. Но на глаз деформация стола не заметна. Однако это еще не означает, что ее нет!

Поставим опыт

Установим на столе два зеркала и направим на одно из них узкий пучок света так, чтобы после отражения от двух зеркал на стене появился маленький световой зайчик (рис. 2). Если коснуться рукой одного из зеркал, зайчик на стене сместится, потому что его положение очень чувствительно к положению зеркал — в этом и заключается «изюминка» опыта.

Положим теперь на середину стола книгу. Мы увидим, что зайчик на стене тотчас сместился. А это означает, что стол действительно чуть прогнулся под лежащей на нем книгой.

Рис. 2. Этот опыт доказывает, что стол чуть-чуть прогибается под лежащей на нем книгой. Из-за этой деформации и возникает сила упругости, поддерживающая книгу

На этом примере мы видим, как с помощью искусно поставленного опыта можно сделать незаметное заметным.

Итак, при незаметных на глаз деформациях твердых тел могут возникать большие силы упругости: благодаря действию именно этих сил мы не проваливаемся сквозь пол, опоры держат мосты, а мосты поддерживают идущие по ним тяжелые грузовики и автобусы. Но деформация пола или опор моста на глаз незаметна!

На какие из окружающих вас тел действуют силы упругости? Со стороны каких тел они приложены? Заметна ли на глаз деформация этих тел?

Почему не падает лежащее на ладони яблоко? Сила тяжести действует на яблоко не только когда оно падает, но и когда оно лежит на ладони.

Почему же тогда лежащее на ладони яблоко не падает? Потому, что на него действует теперь не только сила тяжести Fт, но и сила упругости со стороны ладони (рис. 3).

Рис. 3. На яблоко, лежащее на ладони, действуют две силы: сила тяжести и сила нормальной реакции. Эти силы уравновешивают друг друга

Эту силу называют силой нормальной реакции и обозначают N. Такое название силы объясняется тем, что она направлена перпендикулярно поверхности, на которой находится тело (в данном случае — поверхности ладони), а перпендикуляр называют иногда нормалью.

Действующие на яблоко сила тяжести и сила нормальной реакции уравновешивают друг друга: они равны по модулю и направлены противоположно.

На рис. 3 мы изобразили эти силы приложенными в одной точке — так делают, если размерами тела можно пренебречь, то есть можно заменить тело материальной точкой.

Вес

Когда яблоко лежит на ладони, вы чувствуете, что оно давит на ладонь, то есть действует на ладонь с силой, направленной вниз (рис. 4, а). Эта сила — вес яблока.

Вес яблока можно почувствовать также, подвесив яблоко на нити (рис. 4, б).

Рис. 4. Вес яблока Р приложен к ладони (а) или нити, на которой подвешено яблоко (б)

Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или растягивает подвес вследствие притяжения тела Землей.

Вес обозначают обычно Р. Расчеты и опыт показывают, что вес покоящегося тела равен действующей на это тело силе тяжести: Р = Fт = gm.

Решим задачу

Чему равен вес покоящейся килограммовой гири?

Итак, числовое значение веса тела, выраженное в ньютонах, примерно в 10 раз больше числового значения массы этого же тела, выраженного в килограммах.

Чему равен вес человека массой 60 кг? Чему равен ваш вес?

Как связаны вес и сила нормальной реакции? На рис. 5 изображены силы, с которыми действуют друг на друга ладонь и лежащее на ней яблоко: вес яблока Р и сила нормальной реакции N.

Рис. 5. Силы, с которыми действуют друг на друга яблоко и ладонь

В курсе физики 9-го класса будет показано, что силы, с которыми тела действуют друг на друга, всегда равны по модулю и противоположны по направлению.

Приведите пример уже известных вам сил, которые уравновешивают друг друга.

На столе лежит книга массой 1 кг. Чему равна сила нормальной реакции, действующая на книгу? Со стороны какого тела она приложена и как она направлена?

Чему равна действующая на вас сейчас сила нормальной реакции?

При действии на тело внешней силы онодеформируется (происходит изменение размеров, объема и часто формы тела). В ходе деформации твердого тела возникают смещения частиц, находящихся в узлах кристаллической решетки из начальных положений равновесия в новые положения. Такому сдвигу препятствуют силы, с которыми частицы взаимодействуют. В результате появляются внутренние силы упругости, уравновешивающие внешние силы. Эти силы приложены к деформированному телу. Величина сил упругости пропорциональна деформации тела.

Определение и формула силы упругости

Определение

Силой упругости называют силу, имеющую электромагнитную природу, которая возникает в результате деформации тела, как ответ на внешнее воздействие.

Упругой называют деформацию, при которой после прекращения действия внешней силы тело восстанавливает свои прежние форму и размеры, деформация исчезает. Деформация носит упругий характер только в том случае, если внешняя сила не превышает некоторого определенного значения, называемого пределом упругости. Сила упругости при упругих деформациях является потенциальной. Направление вектора силы упругости противоположно направлению вектора перемещения при деформации. Или по-другому можно сказать, что сила упругости направлена против перемещения частиц при деформации.

Характеристики упругих свойств твердых тел

Упругие свойства твердых тел характеризуют при помощи напряжения, которое часто обозначают буквой . Напряжение – это физическая величина, равная упругой силе, которая приходится на единичное сечение тела:

где dF upr – элемент силы упругости тела; dS – элемент площади сечения тела. Напряжение называется нормальным, если вектор перпендикулярен к dS.

Формулой для расчета силы упругости служит выражение:

где - относительная деформация, – абсолютная деформация, x–первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела; K – модуль упругости ( при ). Величину обратную модулю упругости называют коэффициентом упругости. Проще говоря, сила упругости по величине пропорциональная величине деформации.

Продольное растяжение (сжатие)

Продольное (одностороннее) растяжение состоит в том, что под действием растягивающей (сжимающей) силы происходит увеличение (уменьшение) длины тела. Условием прекращения такого рода деформации является выполнение равенства:

где F – внешняя сила, приложенная к телу, F upr – сила упругости тела. Мерой деформации в рассматриваемом процессе является относительное удлинение (сжатие) .

Тогда модуль силы упругости можно определить как:

где E – модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости (E=K) и характеризующий упругие свойства тела; l – первоначальная длина тела; – изменение длины при нагрузке F=F_upr. При – площадь поперечного сечения образца.

Выражение (4) называют законом Гука.

В простейшем случае рассматривают силу упругости, которая возникает при растяжении (сжатии) пружины. Тогда закон Гука записывают как:

где F x – модуль проекции силы упругости; k – коэффициент жесткости пружины, x – удлинение пружины.

Деформация сдвига

Сдвигом называют деформацию, при которой все слои тела, являющиеся параллельными некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга. При сдвиге объем тела, которое было деформировано, не изменяется. Отрезок, на который смещается одна плоскость относительно другой, называют абсолютным сдвигом (рис.1 отрезок AA’). Если угол сдвига () мал, то . Этим углом? (относительный сдвиг) характеризуют относительную деформацию. При этом напряжение равно:

где G – модуль сдвига.

Единицы измерения силы упругости

Основной единицей измерения сил упругости (как и любой другой силы) в системе СИ является: =H

В СГС: =дин

Примеры решения задач

Пример

Задание. Какова работа силы упругости при деформации пружины жёсткость, которой равна k? Если первоначальное удлинение пружины составляло x 1 , последующее удлинение составило x 2 .

Решение. В соответствии с законом Гука модуль силы упругости найдем как:

При этом сила упругости при первой деформации будет равна:

В случае второй деформации имеем:

Работу (A) сил упругости можно найти как:

где - средняя величина силы упругости, равная:

S- модуль перемещения, равный:

Угол между векторами перемещения и вектором сил упругости (эти векторы направлены в противоположные стороны). Подставим выражения (1.2), (1.3), (1.5) и (1.6) в формулу для работы (1.4), получим:

Ответ.

Пример

Задание. Тело массой m (которое можно считать материальной точкой) привязано к резиновому шнуру. Это тело описывает в горизонтальной плоскости окружность с частотой вращения n. Угол отклонения шнура от вертикали равен . Жёсткость шнура равна k. Какова длина нерастянутого шнура (l 0)?

Определение

Силу, которая возникает в результате деформации тела и пытающаяся вернуть его в исходное состояние, называют силой упругости .

Чаще всего ее обозначают ${\overline{F}}_{upr}$. Сила упругости появляется только при деформации тела и исчезает, если пропадает деформация. Если после снятия внешней нагрузки тело восстанавливает свои размеры и форму полностью, то такая деформация называется упругой.

Современник И. Ньютона Р. Гук установил зависимость силы упругости от величины деформации. Гук долго сомневался в справедливости своих выводов. В одной из своих книг он привел зашифрованную формулировку своего закона. Которая означала: «Ut tensio, sic vis» в переводе с латыни: каково растяжение, такова сила.

Рассмотрим пружину, на которую действует растягивающая сила ($\overline{F}$), которая направлена вертикально вниз (рис.1).

Силу $\overline{F\ }$ назовем деформирующей силой. От воздействия деформирующей силы длина пружины увеличивается. В результате в пружине появляется сила упругости (${\overline{F}}_u$), уравновешивающая силу $\overline{F\ }$. Если деформация является небольшой и упругой, то удлинение пружины ($\Delta l$) прямо пропорционально деформирующей силе:

\[\overline{F}=k\Delta l\left(1\right),\]

где в коэффициент пропорциональности называется жесткостью пружины (коэффициентом упругости) $k$.

Жесткость (как свойство) - это характеристика упругих свойств тела, которое деформируют. Жесткость считают возможностью тела оказать противодействие внешней силе, способность сохранять свои геометрические параметры. Чем больше жесткость пружины, тем меньше она изменяет свою длину под воздействием заданной силы. Коэффициент жесткости - это основная характеристика жесткости (как свойства тела).

Коэффициент жесткости пружины зависит от материала, из которого сделана пружина и ее геометрических характеристик. Например, коэффициент жесткости витой цилиндрической пружины, которая намотана из проволоки круглого сечения, подвергаемая упругой деформации вдоль своей оси может быть вычислена как:

где $G$ - модуль сдвига (величина, зависящая от материала); $d$ - диаметр проволоки; $d_p$ - диаметр витка пружины; $n$ - количество витков пружины.

Единицей измерения коэффициента жесткости в Международной системе единиц (Си) является ньютон, деленный на метр:

\[\left=\left[\frac{F_{upr\ }}{x}\right]=\frac{\left}{\left}=\frac{Н}{м}.\]

Коэффициент жесткости равен величине силы, которую следует приложить к пружине для изменения ее длины на единицу расстояния.

Формула жесткости соединений пружин

Пусть $N$ пружин соединены последовательно. Тогда жесткость всего соединения равна:

\[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\dots =\sum\limits^N_{\ i=1}{\frac{1}{k_i}\left(3\right),}\]

где $k_i$ - жесткость $i-ой$ пружины.

При последовательном соединении пружин жесткость системы определяют как:

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Пружина в отсутствии нагрузки имеет длину $l=0,01$ м и жесткость равную 10 $\frac{Н}{м}.\ $Чему будет равна жесткость пружины и ее длина, если на пружину действовать силой $F$= 2 Н? Считайте деформацию пружины малой и упругой.

Решение. Жесткость пружины при упругих деформациях является постоянной величиной, значит, в нашей задаче:

При упругих деформациях выполняется закон Гука:

Из (1.2) найдем удлинение пружины:

\[\Delta l=\frac{F}{k}\left(1.3\right).\]

Длина растянутой пружины равна:

Вычислим новую длину пружины:

Ответ. 1) $k"=10\ \frac{Н}{м}$; 2) $l"=0,21$ м

Пример 2

Задание. Две пружины, имеющие жесткости $k_1$ и $k_2$ соединили последовательно. Какой будет удлинение первой пружины (рис.3), если длина второй пружины увеличилась на величину $\Delta l_2$?

Решение. Если пружины соединены последовательно, то деформирующая сила ($\overline{F}$), действующая на каждую из пружин одинакова, то есть можно записать для первой пружины:

Для второй пружины запишем:

Если равны левые части выражений (2.1) и (2.2), то можно приравнять и правые части:

Из равенства (2.3) получим удлинение первой пружины:

\[\Delta l_1=\frac{k_2\Delta l_2}{k_1}.\]

Ответ. $\Delta l_1=\frac{k_2\Delta l_2}{k_1}$