Перевод логарифмической шкалы в линейную. Что такое Логарифмический масштаб? Логарифмическая абсолютная шкала
Моя задача помочь понять зачем нам (в науке вообще и в нашем проекте, в частности) потребовался это масштаб. Без него не обойтись когда есть необходимость представить величину сильно изменяющую свое значение на предполагаемом поле графика.
Попробуйте нарисовать в привычном вам линейном масштабе следующую зависимость
| 1 | 0,0001 |
| 2 | 0,001 |
| 3 | 0,01 |
| 4 | 0,1 |
| 6 | 3 |
| 8 | 5 |
| 20 | 20 |
Ничего нагляднее приведенного справа графика не придумаешь. В графике такого (линейного) типа каждая клеточка по оси У имеет один и тот же размер в числах (на нашем графике одна клетка соответствует 2.
Но давайте попробуем рассмотреть шкалу у которой одна клеточка соответствует одному порядку величины. То есть, клеточка от 1 до 10 будет того же размера, что и клетка от 10 до 100; от 100 до 1000 или в другую сторону от 0,1 до 1 или от 0,01 до 0,1. Иными словами по оси У будем откладывать величины соответствующие логарифму У.
Тогда тот же график приобретет иной вид. На нем теперь хорошо видно значения всех точек и поведение кривой во всем диапазоне.
Как практически пользоваться (считывать данные с графика в логарифмической шкале? Очень просто и понятно из следующего рисунка.
Особо любознательным советую для общего развития познакомиться с тем, что такое логарифмическая линейка . С ее помощью достаточно просто производить умножение и деление чисел с точностью 2-3 знака. До появления калькуляторов и компьютеров все продавцы и бухгалтерские работники пользовались счетами, а инженеры и научные работники - логарифмическими линейками!
Выбор типа шкал для графика, всегда казалось мне интуитивно понятной задачей. Однако, когда мне нужно было объяснить, чем они отличаются, то я не смог привести понятных аргументов. В интернете хорошей информации мне не попалось. Поэтому решил разобраться, откуда растут ноги у разных видов шкал и как их следует применять. Я решил рассмотреть три самых распространенных вида шкал - равномерную, логарифмическую и степенную.
Равномерная шкала
Самый распространенный и привычный вид шкал. Также их называют арифметическими или линейными шкалами. На такой шкале значения равноудалены друг друг от друга.
Например значения 100 и 200, и 200 и 300 отстают друг от друга на одно и тоже расстояние.
Например, на этом графике по оси Y - равномерная шкала с шагом в 20 лет средней продолжительности жизни, а по оси X - равномерная шкала с шагом 10 календарных лет.
Логарифмическая шкала
Этот вид шкал тоже используется достаточно часто, особенно когда речь идёт о научных исследованиях. Она используется для отображения широко диапазона величин, когда значения, которые попадают на график отличаются на много порядков. То есть когда мы хотим одновременно видеть и значения 0.1, 0.2 и значения 100, 200 на одном графике. Зачастую это связанно с физикой процесса. Так, например, в музыке ноты, различающиеся по частоте в два раза это ноты на октаву выше (Ля и Ля следующей октавы). Чтобы показать частоты двух нот будет удобно использовать логарифмическую шкалу.
Но бывает, что в наборе данных просто содержаться большой разброс данных. Например, как на этом графике из Beautiful Evidence Тафти, где он использует логарифмические шкалы для сравнения массы тела и мозга различных существ. Так как бывают и крошечные рыбки и огромные киты, то на таком графике удобно использовать логарифмические шкалы.
Чаще всего используются логарифмические шкалы с основанием 10. Это значит, что одинаковые расстояние на графике откладываются между значениями отличающимися на один порядок. Но бывают логарифмические шкалы с другими основаниями. Например 2.
Степенная шкала
Это менее известный тип шкал. Он отличается от остальных тем, что расстояние между рисками, соответствует числам возведенным в степень. То есть получается, что расстояние между соседними рисками постоянно растёт или уменьшается. Такие шкалы удобны, когда мы хотим показать на одном графике более детально какую-то группу значений, но при это не хотим потерять из вида, значения которые, сильно отличаются от этой группы. Чем-то это похоже на логарифмическую шкалу, но здесь идёт акцент не на всем промежутке, а только на отдельной его части. Это хорошо видно на примере РИА новости, где они использовали степенные шкалы, чтобы сгладить выбросы по доходам отдельных депутатов.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА
(logarithmic scale) Шкала на диаграмме, где единицей измерения выступает значение логарифма переменной. Логарифмические шкалы используются прежде всего в диаграммах, в которых на одной, обычно горизонтальной шкале показано время, а на вертикальной оси – некая реальная или номинальная переменная, например ВВП или уровень цен. Угол наклона кривой в подобной диаграмме показывает пропорциональные темпы роста переменной, а постоянная пропорциональная тенденция роста представлена в виде прямой линии. Если на обеих осях используются логарифмические шкалы, то угол наклона кривой пропорционален ее эластичности. Ни нуль, ни отрицательные числа не могут быть показаны на логарифмической шкале. На обоих графиках (рис. 19) горизонтальные оси показывают время, а вертикальные оси обозначают реальный ВВП воображаемой страны. Рис. 19: Логарифмические шкалы На графике 1 используется натуральная шкала; на графике 2 используется логарифмическая шкала. Предполагается, что в этой стране происходят сменяющие друг друга экономические подъемы, каждый из которых продолжается пять лет, и кризисы, каждый из которых продолжается два года. График 1 позволяет апологетам правительства утверждать, что его политика экономического роста имеет успех, поскольку экономический рост в каждом последующем цикле увеличивается. В то же время он позволяет критикам правительства утверждать, что экономические циклы становятся все более тяжелыми, демонстрирующими некомпетентность политики стабилизации правительства. График 2 показывает ошибочность утверждений обеих сторон. В действительности экономический рост замедляется, но колебания в рамках цикла также становятся менее серьезными. (Цифры были подобраны таким образом, чтобы во время подъемов экономика последовательно увеличивалась на 100, 90, 80% и т.д. и во время кризисов последовательно сокращалась на 10, 9, 8% и т.д.)
Экономика. Толковый словарь. - М.: "ИНФРА-М", Издательство "Весь Мир". Дж. Блэк. Общая редакция: д.э.н. Осадчая И.М. . 2000 .
Экономический словарь . 2000 .
Смотреть что такое "ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ШКАЛА" в других словарях:
логарифмическая шкала - Шкала, построенная на основе систем логарифмов. Примечание Для построения логарифмических шкал обычно используются системы десятичных или натуральных логарифмов, а также система логарифмов с основанием два. [МИ 2365 96] Тематики метрология,… …
логарифмическая шкала - 2.2.7 логарифмическая шкала: Шкала измерений, получаемая логарифмическим преобразованием измеряемой величины. Источник: РМГ 83 2007: Государственная система обеспечения единства измерений. Шкалы измерений. Термины и определения …
На шкале в логарифмическом масштабе длина отрезка шкалы пропорциональна логарифму отношения величин отмеченных на концах этого отрезка (в то время как на шкале в линейном масштабе длина отрезка пропорциональна разности величин на его концах).… … Википедия
логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Automatikos terminų žodynas
логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Logaritminiu masteliu sudaryta skalė. atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. logarithmische Skala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
логарифмическая шкала - logaritminė skalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. logarithmic scale vok. Logarithmenskala, f rus. логарифмическая шкала, f pranc. échelle logarithmique, f … Fizikos terminų žodynas
Логарифмическая шкала разностей - Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (Х/Х0), где Х текущее, a X0 принятое по… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
логарифмическая шкала разностей - Логарифмическая шкала измерений, получаемая при логарифмическом преобразовании величины, описываемой шкалой отношений, или интервала в шкале разностей, т.е. шкала, определяемая зависимостью L = log (X/X0), где Х текущее, а Х0 принятое по… … Справочник технического переводчика
логарифмическая шкала для частот - — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN logarithmic frequency scale … Справочник технического переводчика
Вид логарифмической шкалы, которая показывает наиболее значимые исторические события на одной странице в десяти строках в логарифическом масштабе.[источник не указан 448 дней] События далёкого прошлого имеют меньшее влияние на … Википедия
По работе с графиками на сайте Stockcharts.com я не уточнила такой важной момент, как выбор шкалы. Уточняю. Если вы посмотрите на график движения цены, то увидите на нем две оси. По горизонтальной оси X отложено время, по вертикальной оси Y – цена.
Для оси X используется арифметическая (линейная) шкала. Для оси Y может применяться как арифметическая, так и логарифмическая шкала. В чем их отличие?
Арифметическая шкала показывает простое изменение цены в количестве пунктов или долларов. Логарифмическая шкала показывает не абсолютное изменение цены, а относительное, то есть не в количестве пунктов или долларов, а в процентном соотношении.
На арифметической шкале все единичные отрезки имеют одинаковую длину. Интервалы логарифмической шкалы не равны, так как с ростом цены процентные изменения уменьшаются и, как следствие, отрезки становятся уже, а деления чаще.
Принцип построения арифметической шкалы
Арифметическая шкала строится от нуля и с помощью сложения и вычитания. При перемещении вправо от нуля значения складываются, а при перемещении влево от нуля – вычитаются. Значение показателя по мере продвижения оси изменяется на равную величину. В результате отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезку 100-110, несмотря на то, что в первом варианте изменение составит 100% (2 раза), а во втором – лишь 10%.
Принцип построения логарифмической шкалы
В логарифмической шкале равным отрезкам соответствует одинаковое процентное изменение показателя. Например, отрезок шкалы 10-20 будет равен отрезкам 20-40 и 40-80, т.е. изменение показателя во всех случаях составит 2 раза. Данная шкала строится от единицы с помощью умножения и деления. И для того чтобы переместиться на такое же расстояние как в арифметической шкале, например, на 10, необходимо 1 умножить на 10. В свою очередь, для перемещения на 10 влево, нужно 1 разделить на 10.
Отображение графиков с разной шкалой
При работе с графиками на коротких интервалах времени разница между арифметическим и логарифмическим способами шкалирования едва заметна. Однако при больших ценовых колебаниях и длительных периодах различия существенны. Эта хорошо видно на рисунке ниже. На нем я наложила графики индекса NYSE Composite ($NYA) за более чем 20-летний период. Менее четкая линия – это линия графика, построенного по логарифмической шкале.
График индекса NYSE Composite ($NYA), построенный по арифметической и логарифмической шкале
Живая версия графиков доступна и .
Обратите внимание, что диапазон колебаний на графике с арифметической шкалой выше, чем с логарифмической. Кроме этого, на графике с арифметической шкалой есть ощущение более существенного движения и изменения. Поэтому такой способ построения любят СМИ: он позволяет преувеличить значения показателей и раздуть новость. Этого не происходит, когда данные отображаются на логарифмической шкале. И именно ее я рекомендую использовать при работе с графиками, охватывающими данные за длительный период.
Обозначим две задачи, которые периодически возникают в практике волновых аналитиков (рисунок 1).
Задача №1.
На некотором рынке волна I соединила уровни 100 и 400. Третья волна стартовала на отметке 250 и достигла цели в 1000. Как соотносятся волны I и III?
Задача №2.
На некотором рынке волна А соединила уровни 400 и 100. Волна С, которая началась на отметке 250, составляет 161.8% от А. На каком уровне завершается волна С?
Рисунок 1 - волновые формации в обычных координатах.
Рисунок 2 - волновые формации в логарифмических координатах.
Действующие волны в наших задачах весьма значительны (цены изменяются в разы) - на таких расстояниях нужно использовать логарифмический масштаб. Перестроим наш график в логарифмический (рисунок 2) и обозначим разворотные точки a-d (не путайте с волнами зигзага). Пропорции между волнами находим из уравнения:
Решения : в первой задаче третья волна равна первой - ln(1000/250)/ln(400/100)=1.
Во второй задаче ответ 26.5 пунктов, поскольку ln(250/26.5)/ln(400/100)=1.618. Эта задача имеет решение и при соотношении С=2.618А и даже при С=4.236А.
Когда использовать логарифмическую шкалу?
В известных книгах по волновой теории вопрос применения логарифмов толком не прояснён. Так или иначе признаётся, что прогресс цивилизации идёт логарифмически, а рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два принципиально разных движения, которые не могут иметь одинаковый размер. Но где граница между традиционным арифметическим и логарифмическим масштабами?
На просторах сети можно встретить указание использовать логарифмы если изменение котировок превышает 3 раза. На первый взгляд, это логично, но при детальном рассмотрении появляется одна важная нестыковка - как поступать с волнами старших порядков, которые не укладываются в установленные рамки. Неужели придётся использовать сразу две шкалы - логарифмическую для глобальных разметок и обычную на каждый день?
Следующий пример наглядно поясняет всю противоречивость такого подхода. На рисунке 3 слева показан график курса доллара с 2014-го года в логарифмическом масштабе, а справа - традиционный ценовой график с лета 2015-го. Во втором случае мы имели полное право рисовать импульс с растянутой пятой, хотя логарифмы явно запрещали этот сценарий, ибо предполагаемая волна 3 оказалась короче первой, а растяжения не выполнялись от слова совсем.
Рисунок 3 - график USDRUB в логарифмических и обычных координатах.
Чтобы избежать подобных конфликтов и соблюсти единообразие я советую всегда использовать логарифмическую шкалу. Она универсальна. На старших фреймах она единственная покажет правильные пропорции между волнами и ей нет никакой альтернативы. Если ценовые изменения незначительны, то логарифмические пропорции совпадут с обычными арифметическими, так что мы ничего не нарушим и при этом нам не придётся переключаться с одного масштаба на другой.
Отмечу, что некоторые аналитики допускают возможность измерения волн не только в логарифмах, но и в разах или процентах. На мой взгляд, подобный подход является в чистом виде самодеятельностью и не имеет под собой никаких теоретических обоснований. Кроме того, совершенно не понятно как построить такие волны на графике.
Почему используется именно логарифм?
Давайте посмотрим откуда берутся логарифмические координаты. Как было сказано, рост на 10 пунктов с уровня 10 и аналогичный рост с уровня 100 это два разных движения. Чем выше поднимается рынок, тем проще ему расти относительно стартовой точки. Если мы планируем избавиться от этого казуса, нам придётся разбить всё движение на бесконечно мелкие части и поднимать точку отсчёта на каждом шаге.
Возьмём два дискретных процесса. Первый из них моделирует подвижную точку отсчёта - значение x начинается с единицы и на каждом шаге прирастает на k% от предыдущего. Второй процесс линейный – значение y начинается с нуля и на каждом шаге увеличивается на k% от единицы. Теперь найдём такое преобразование, которое свяжет процессы X и Y при бесконечно малом k.
Переход от обычной шкалы к логарифмической наглядно проиллюстрирован на рисунке 4. В линейном процессе (справа) размер шага постоянный и не зависит от того, с какого уровня начинается изменение цены. Логарифмический процесс (слева) избавлен от этого недостатка - чем больше текущее значение цены, тем больше дискретный шаг.
Рисунок 4 - сравнение процессов изменения цены в разных масштабах.
Как можно понять, логарифмический масштаб скрадывает изменения цены, сделанные в верхней части графика и растягивает тренды из «подвала». Так, волна роста по индексу Доу с 1974-го по 2001-ый год в обычной системе координат превысила 1200% от волны роста с 1942-го по 1966-ой годы. В логарифмах эти волны соотносятся в пропорции 1.27.
Изображение на главной странице взято из фотобанка Лори
